毕业照排队问题的最小d、最小k及最大容纳人数解答

快到毕业季了，小度的班级组织大家拍毕业照。 小度的班级一共有n名同学，第i名同学学号为i ，身高为hi。 一张符合要求的毕业照最多包含k排，且需要符合以下要求: 1.每一排内的同学的学号从小到大排序后依次+1，也就是说，如果这一排的同学中最小的学号是x，则这一排内的同学们的学号从小到大依次是x＋1, x＋2,… 2.每一排内最高的同学和最低的同学身高差距不大于 d 。 3.第i＋1(1≤i<k)排的同学中最小的学号恰好是第i排的同学中最大的学号+1 。

现在小度有三个问题请你回答: 1.假设只给定k，如果想要一张照片容纳所有同学，最小的 d是多少?

2.假设只给定 d ，如果想要一张照片容纳所有的同学，最小的k是多少?

3.假设给定k, d ，如果只拍一张照片，最多可以容纳多少位同学?

输入格式:第1行3个整数n,k, d (1≤k≤n≤5×1e5,1≤d≤1e9)，表 示班级里的人数，和询问的两个参数; 第2行n个整数h1, h2,·…· ,hn (1 ≤hi≤1e9)，表示每位同学的身高。 输出格式:输出3行，每行一个整数，代表对应问题的答案。

算法基础:二分|三分

为了回答小度的三个问题，我们需要分别考虑不同的约束条件，并使用适当的算法来求解。以下是详细的解题思路和算法实现。

问题1：最小的 d 是多少？

我们需要找到一个最小的 d，使得可以将所有同学分成 k 排，每排的同学学号连续且身高差不超过 d。我们可以使用二分查找来解决这个问题。

1. 二分查找：我们在 0 到最大身高差之间进行二分查找。
2. 验证函数：对于每个中间值 mid，我们需要验证是否可以将所有同学分成 k 排，每排的同学学号连续且身高差不超过 mid。

问题2：最小的 k 是多少？

我们需要找到一个最小的 k，使得可以将所有同学分成 k 排，每排的同学学号连续且身高差不超过 d。我们可以使用二分查找来解决这个问题。

1. 二分查找：我们在 1 到 n 之间进行二分查找。
2. 验证函数：对于每个中间值 mid，我们需要验证是否可以将所有同学分成 mid 排，每排的同学学号连续且身高差不超过 d。

问题3：最多可以容纳多少位同学？

我们需要找到在给定 k 和 d 的情况下，最多可以容纳多少位同学。我们可以使用滑动窗口来解决这个问题。

1. 滑动窗口：我们使用一个滑动窗口来维护当前排的同学，确保窗口内的同学学号连续且身高差不超过 d。
2. 动态规划：我们使用动态规划来记录每个位置可以容纳的最大同学数。

代码实现

def solve(n, k, d, heights):
    # 问题1：最小的 d 是多少？
    def can_divide_with_d(d):
        count = 1
        min_height = max_height = heights[0]
        for i in range(1, n):
            min_height = min(min_height, heights[i])
            max_height = max(max_height, heights[i])
            if max_height - min_height > d:
                count += 1
                min_height = max_height = heights[i]
        return count <= k

    left, right = 0, max(heights) - min(heights)
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if can_divide_with_d(mid):
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    min_d = left

    # 问题2：最小的 k 是多少？
    def can_divide_with_k(k):
        count = 1
        min_height = max_height = heights[0]
        for i in range(1, n):
            min_height = min(min_height, heights[i])
            max_height = max(max_height, heights[i])
            if max_height - min_height > d:
                count += 1
                min_height = max_height = heights[i]
        return count <= k

    left, right = 1, n
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if can_divide_with_k(mid):
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    min_k = left

    # 问题3：最多可以容纳多少位同学？
    max_students = 0
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        min_height = max_height = heights[i - 1]
        for j in range(i, 0, -1):
            min_height = min(min_height, heights[j - 1])
            max_height = max(max_height, heights[j - 1])
            if max_height - min_height > d:
                break
            dp[i] = max(dp[i], dp[j - 1] + (i - j + 1))
        max_students = max(max_students, dp[i])

    return min_d, min_k, max_students

# 输入
n, k, d = map(int, input().split())
heights = list(map(int, input().split()))

# 解决问题
min_d, min_k, max_students = solve(n, k, d, heights)

# 输出
print(min_d)
print(min_k)
print(max_students)

解释

1. 问题1：我们使用二分查找来找到最小的 d。can_divide_with_d 函数用于验证当前的 d 是否可以将所有同学分成 k 排。
2. 问题2：我们使用二分查找来找到最小的 k。can_divide_with_k 函数用于验证当前的 k 是否可以将所有同学分成 k 排。
3. 问题3：我们使用滑动窗口和动态规划来找到最多可以容纳的同学数。dp 数组用于记录每个位置可以容纳的最大同学数。

通过上述方法，我们可以高效地解决这三个问题。