Conditions de divisibilité de \((3x + 1)^n\) par \(p^q\)

(3x+1)exp(n) est-il divisible par (p)exp(q)

Pour déterminer si ((3x + 1)^n) est divisible par (p^q), nous devons examiner les conditions sous lesquelles cette divisibilité est possible. Voici les étapes générales pour aborder ce problème :

1. Expression de base : Nous avons ((3x + 1)^n) et (p^q), où (n), (p), et (q) sont des entiers.

2. Divisibilité : Pour que ((3x + 1)^n) soit divisible par (p^q), il faut que (p^q) soit un facteur de ((3x + 1)^n).

3. Facteurs premiers : (p) est un nombre premier et (q) est un entier positif. Donc, (p^q) est une puissance de (p).

4. Conditions sur (x) : Pour que ((3x + 1)^n) soit divisible par (p^q), il faut que (3x + 1) soit divisible par (p). Cela signifie que (3x + 1 \equiv 0 \pmod{p}), ou (3x \equiv -1 \pmod{p}).

5. Résolution de la congruence : Trouvons (x) tel que (3x \equiv -1 \pmod{p}). Cela revient à trouver l'inverse multiplicatif de 3 modulo (p), noté (3^{-1}), et ensuite multiplier par (-1).

   • Si (p) est un nombre premier, l'inverse multiplicatif de 3 modulo (p) existe si et seulement si 3 et (p) sont copremiers (ce qui est toujours vrai puisque (p) est premier et différent de 3).
   • Utilisons l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver (3^{-1} \pmod{p}).

6. Calcul de (x) : Une fois que nous avons (3^{-1} \pmod{p}), nous pouvons écrire (x \equiv -3^{-1} \pmod{p}).

7. Puissance (n) : Pour que ((3x + 1)^n) soit divisible par (p^q), il faut que (3x + 1) soit divisible par (p) et que la puissance (n) soit suffisamment grande pour que (p^q) divise ((3x + 1)^n).

   • Si (3x + 1 = kp) pour un certain entier (k), alors ((3x + 1)^n = (kp)^n = k^n p^n).
   • Pour que (k^n p^n) soit divisible par (p^q), il faut que (n \geq q).

En résumé, ((3x + 1)^n) est divisible par (p^q) si et seulement si :

1. (3x + 1) est divisible par (p), c'est-à-dire (3x \equiv -1 \pmod{p}).
2. (n \geq q).

Si ces conditions sont remplies, alors ((3x + 1)^n) sera divisible par (p^