La conjecture de Syracuse : un mystère mathématique non résolu

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La conjecture de Syracuse, également connue sous le nom de conjecture de Collatz, est une conjecture mathématique qui reste non prouvée à ce jour. Elle est nommée d'après le mathématicien Lothar Collatz, qui l'a proposée en 1937. La conjecture est simple à énoncer mais semble extrêmement difficile à démontrer.

Voici comment elle est formulée :

1. Prenez un nombre entier positif ( n ).
2. Appliquez les règles suivantes :
   • Si ( n ) est pair, divisez-le par 2.
   • Si ( n ) est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1.
3. Répétez le processus avec le nouveau nombre obtenu.

La conjecture de Syracuse affirme que, quel que soit le nombre entier positif initial ( n ), la suite finira toujours par atteindre le nombre 1.

Exemple

Prenons ( n = 6 ) :

• 6 est pair, donc ( 6 / 2 = 3 )
• 3 est impair, donc ( 3 \times 3 + 1 = 10 )
• 10 est pair, donc ( 10 / 2 = 5 )
• 5 est impair, donc ( 5 \times 3 + 1 = 16 )
• 16 est pair, donc ( 16 / 2 = 8 )
• 8 est pair, donc ( 8 / 2 = 4 )
• 4 est pair, donc ( 4 / 2 = 2 )
• 2 est pair, donc ( 2 / 2 = 1 )

Nous atteignons finalement 1.

Difficulté de la démonstration

Malgré sa simplicité apparente, la conjecture de Syracuse n'a pas été prouvée ni réfutée. Elle a été vérifiée par ordinateur pour des milliards de valeurs initiales, mais une preuve mathématique générale reste insaisissable. La difficulté réside dans le comportement imprévisible des suites générées par les règles de la conjecture.

Conclusion

La conjecture de Syracuse est un exemple fascinant de problème mathématique simple à énoncer mais difficile à résoudre. Elle continue de susciter l'intérêt des mathématiciens et des amateurs de mathématiques du monde