Si un lote de productos tiene una tasa de defectos del 6% y se seleccionan 400 productos al azar para ser inspeccionados, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 24 de ellos estén defectuosos? Pregunta 42Respuesta a. 70% b. 55% c. 75% d. 60%
Para resolver este problema, podemos utilizar la aproximación normal a la distribución binomial, dado que el tamaño de la muestra es grande (n = 400).
Primero, definimos las variables:
La media (( \mu )) y la desviación estándar (( \sigma )) de la distribución binomial se calculan como: [ \mu = n \cdot p = 400 \cdot 0.06 = 24 ] [ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{400 \cdot 0.06 \cdot 0.94} \approx \sqrt{22.56} \approx 4.75 ]
Queremos encontrar la probabilidad de que al menos 24 productos estén defectuosos. En términos de la distribución normal, esto se traduce en encontrar ( P(X \geq 24) ).
Para usar la aproximación normal, aplicamos la corrección por continuidad. Buscamos ( P(X \geq 23.5) ).
Convertimos esto a la variable estándar ( Z ): [ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} ] [ Z = \frac{23.5 - 24}{4.75} \approx \frac{-0.5}{4.75} \approx -0.105 ]
Ahora, buscamos el valor de ( Z = -0.105 ) en la tabla de la distribución normal estándar. La probabilidad acumulada para ( Z = -0.105 ) es aproximadamente 0.4582.
Dado que queremos ( P(X \geq 23.5) ), calculamos: [ P(X \geq 23.5) = 1 - P(Z \leq -0.105) ] [ P(X \geq 23.5) = 1 - 0.4582 = 0.5418 ]
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos 24 productos estén defectuosos es aproximadamente 54.18%.
Comparando con las opciones dadas: a. 70% b. 55% c. 75% d. 60%
La opción más cercana es: b. 55%